Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

---

---

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 12 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, Meraki Center biên soạn bản tóm tắt Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn.

I. Mặt cầu – Khối cầu:

1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng R không đổi.

Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu.

2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

– Diện tích mặt cầu: S = 4πR²

– Thể tích khối cầu:

II. Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ:

1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.

+) Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.

+) Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.

+) Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.

+) Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.

+) Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối trụ.

2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:

+) Diện tích xung quanh mặt trụ: S_xq = 2πrl (l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình trụ: S_tp = S_xq + 2S_day = 2πrl + 2πr²

+) Thể tích khối trụ: V = S_day.cao = πr²h (h : chiều cao)

III. Mặt nón – Hình nón – Khối nón:

1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.

+) Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.

+) Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.

+) Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.

+) Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:

+) Diện tích xung quanh mặt nón: S_xq = πrl ( l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình nón: S_tp = S_xq + S_day = πrl + πr²

+) Thể tích khối nón: ( h : chiều cao)

IV. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp thường gặp

Hình 1: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC) .

Cách đặc biệt

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 2: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại A, SA ⊥ (ABC) .

Gọi O là trung điểm của BC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 3: Hình chóp S.ABC có ΔABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC).

Gọi J là trung điểm BC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật), SA ⊥ (ABCD)

Cách đặc biệt

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SB

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD

⇒ ΔSCD vuông tại D ⇒ ID = IS = IC (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:

---

---

---