Các công thức lượng giác cơ bản (hay, chi tiết)

Bài viết Các công thức lượng giác cơ bản chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh
nắm vững kiến thức trọng tâm về Các công thức lượng giác cơ bản từ đó học tốt môn Toán.

Các công thức lượng giác cơ bản (hay, chi tiết)

1. Công thức 

Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các công thức lượng giác cơ bản sau:

(1) cos²α + sin²α = 1;

(2) tanα.cotα = 1; với 0° < α < 180°, α ≠ 90°;

(3) 1+tan2α=1cos2αvới α ≠ 90°;

(4) 1+cot2α=1sin2αvới 0° < α < 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính

a) cosα, biết sinα=13và α là góc nhọn.

b) tanα, biết cosα=−13, 0° < α < 180°.

 Hướng dẫn giải:

a) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ cos2α=1−sin2α=1−132=23

Vì α là góc nhọn nên cosα > 0

⇒cosα=23=63.

b)

+) Ta có: 1+tan2α=1cos2α

⇒ 1+tan2α=1−132

⇒tan²α = 9 – 1 = 8

⇒ tanα=±22

Mà cosα=−13suy ra α là góc tù

Vậy tanα=−22.

Ví dụ 2.Cho sinα=15, với α là góc tù, hãy tính A = 6tanα – 5cosα.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ cos2α=1−sin2α=1−152=2425.

Vì α là góc tù nên cosα < 0

⇒cosα=−2425=−265.

+) tanα=sinαcosα=15−265=−612.

Vậy A = 6tanα – 5cosα = 6.−612−5.−265=362.

Ví dụ 3.Cho tanα = 2, 0° < α < 180°. Tính A=sinα+3cosαcosα+cotα.

Hướng dẫn giải:

 +) Vì tanα = 2 suy ra cosα ≠ 0, ta có:

A=sinα+3cosαcosα+cotα=sinαcosα+3cosαcosαcosαcosα+cosαsinα.cosα(chia cả tử và mẫu cho cosα).

⇒ A=tanα+31+1sinα.

+) Ta có: cotα=1tanα=12

Lại có: 1+cot2α=1sin2α

⇔ 1sin2α=1+14=54

⇔ 1sinα=±52

Suy ra 1sinα=52  (do 0° < α < 180° nên sinα > 0).

Vậy A=tanα+31+1sinα=2+31+52=−20+105.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60°. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc ABD.

Bài 2. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) sinα=23và cosα=33;

b) sinα=45và cosα=−35;

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3.

Bài 3. Cho cosα=14. Tính A = sinα + 3tanα.

Bài 4. Tính

a) sinα, nếu cosα=−22;

b) cosα, nếu tanα=22;

c) tanα, nếu sinα=23;

d) cotα, nếu cosα=−14.

Bài 5. Cho tanα = – 3, 0° < α < 180°. Tính A=5sinα−10cosαtanα+3cotα.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

---