Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án

---

---

Phần Phương trình mũ Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình mũ hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án

Bài giảng: Cách giải phương trình mũ – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Meraki Center)

Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

1. Phương trình mũ cơ bản.

    Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = m        (1).

        Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = log_am.

        Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

2. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

    Với a > 0 và a ≠ 1 ta có a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x).

3. Phương pháp lôgarit hoá.

        a^f(x) = b ⇔ f(x) = log_ab

        a^f(x) = b^g(x) ⇔ f(x) = g(x)log_ab

        log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

Bài 1: Giải phương trình sau

Lời giải:

Bài 2: Giải phương trình sau

Lời giải:

Bài 3: Giải phương trình sau

Lời giải:

Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

    Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.

Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Phương trình α_k + α_k-1 a^(k-1)x + … + α₁ a^x + α⁰ = 0

        Khi đó ta đặt t = a^x điều kiện t > 0, ta được α_k t^k + α_k-1 t^k-1 + … + α₁ t + α₀ = 0

        Mở rộng: Nếu đặt t = a^f(x) , điều kiện hẹp t > 0.

       

Dạng 2: Phương trình α₁ a^x + α₂ a^x + α₃ = 0 với a.b = 1

       

        Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = a^f(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra

Dạng 3: Phương trình α₁ a^2x + α₂ (a.b)^x + α₃ b^2x = 0 khi đó chia hai vế của phương trình cho b^2x > 0 (hoặc a^2x, (a.b)^x), điều kiện t < 0, ta được

        , điều kiện t < 0 , ta được α₁ t² + α₂ t+α₃ = 0

        Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a^2f, b^2f, (a.b)^2f, ta thực hiện theo các bước sau:

            + Chia 2 vế của phương trình cho b^2f > 0 (hoặc a^2f,(a.b)^f)

            + Đặt điều kiện hẹp t > 0

Bài 1: Giải phương trình 9^x-5.3^x+6=0

Lời giải:

Đặt t=3^x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)^x-3(2-√3)^x+2=0

Lời giải:

Nhận xét rằng 7+4√3=(2+√3)²; (2+√3)(2-√3)=1

Do đó nếu đặt t=(2+√3)^x điều kiện t > 0 thì (2-√3)^x=1/t và (7+4√3)^x = t²

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)^x+(√2+1)^x-2√2=0

Lời giải:

Đặt t=(√2+1)^x ta có phương trình đã cho tương đương:

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x₀ ⇔ f(x) = f(x₀) = k do đó x = x₀ là nghiệm.

        + Với x > x₀ ⇔ f(x) > f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x₀ ⇔ f(x) < f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x₀ sao cho f(x₀) = g(x₀ .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Bài 1: Giải phương trình x+2.3^{log₂ x} = 3 (*).

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 2.3^log₂x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

⇒ x² – 3x + 2 = u² ⇒ 3x – x² – 1 = 1 – u².

Khi đó phương trình (*) có dạng

Xét hàm số:

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log₃ (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2^x2-x + 9^3-2x + x² + 6 = 4^2x-3 + 3^{x – x2} + 5x (*).

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 2^x2-x + 3^6-4x + x² + 6 = 2^4x-6 + 3^x-x2 + 5x.

        ⇔ 2^x2-x + x² – x – 3^x-x2 = 2^4x-6 + 4x – 6 – 3^6-4x.

ta được 2^u + u – 3^-u = 2^v + v – 3^-v.

Xét hàm số:

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

---

---

---