Các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương pháp biến đổi biến số.

Nếu thì

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm, trong đó ta có thể phân tích f(x) = g(u(x))u'(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t=u(x) , suy ra dt =u'(x)dx .

Khi đó ta được nguyên hàm:  

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàmtheo t thì ta phải thay t = u(x).

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx=φ'(t)dt

Bước 3: Biến đổi : f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

Bước 4: Khi đó tính:

Một số cách đổi biến số hay gặp.

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. 

Khi đó:

Để tính nguyên hàmbằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1: 

Chọn u, v sao cho từ f(x) =udv (chú ý dv=v'(x)dx ). 

Sau đó tínhvà du=u’.dx.

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính.

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạngtrong các trường hợp sau:

Chú ý: Với p(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

– Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần 

Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao.

Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng.

Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v.

Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:

Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo:

 

Căn cứ vào bảng ta được: 

 Căn cứ vào bảng ta được: 

Căn cứ vào bảng ta được:

 

B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốtrên khoảng ( -2;+∞)  là:

Lời giải

Ta có:

Đặt t = x + 2 => dt = dx và x = t – 2. Thay vào đề bài ta được:

Thay t = x + 2, ta được:

 

(Do theo đề bài x ∈ ( -2;+∞) nên x + 2 > 0)

Chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của?

Lời giải

Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có :

Đặt

Chọn C = 1999

Khi đó

Chọn A. 

Ví dụ 3. Tìm một nguyên hàm của hàm số?

Lời giải

Đặt :

Chọn C = 0

Khi đó ta có một nguyên hàm của hàm số đã cho là

Chọn B. 

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm củalà:

Câu 2. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ), nguyên hàmbằng:

Câu 3. Nguyên hàm củabằng:

Câu 4. Họ nguyên hàm củalà:

Câu 5. có dạng, trong đó a,b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3.                     B. 2.                         

C. 1.                     D. Không tồn tại

Câu 6. Tính

Câu 7. Tính

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 14. Tínhta được kết quả là:

Câu 15. Một nguyên hàm củalà:

Câu 16. Nguyên hàm của hàm sốlà:

Câu 17. Kết quả củalà:

A. x lnx + x + C

B. Đáp án khác

C. x lnx + C

D. x lnx – x + C

Câu 18. Kết quả củalà:

A. x lnx + x + C

B. Đáp án khác

C. x lnx + C

D. x lnx – x + C

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số là:

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm sốlà :

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm sốlà :

Câu 22. Câu nào sau đây sai?

A. Nếu F'(t) = f(t) thì F'(u(x)) = f(u(x)) .

B.

C. Nếu G(t) là một nguyên hàm của hàm số g(t) thì G(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số g(u(x)).u'(x) .

D.

Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu

B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thìcó dạng h(x) = Cx + D (C,D là các hằng số và C≠0).

C. F(x) = 7 + sin²x là một nguyên hàm của f(x) = sin2x.

D..

Câu 24. Để tínhtheo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

Câu 25. F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

Câu 26. Để tính   theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

Câu 27. Hàm số f(x)=(x-1)e^x có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0?

A. F(x) = (x-1)e^x

B. F(x) = (x-2)e^x

C. F(x) = (x+1)e^x + 1

D. F(x) = (x-2)e^x + 3

Câu 28. Một nguyên hàm của f(x) = xlnx là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1 ?

Câu 29. Cholà một nguyên hàm của hàm số. Tìm nguyên hàm của hàm số  

Câu 30. Tính nguyên hàmđược kết quả nào sau đây?

A. I = lnx.ln(lnx) + C

B. I = lnx.ln(lnx) + lnx + C

C. I = lnx.ln(lnx) – lnx + C

D. I = lnx.ln(lnx) + lnx+ C

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	B	B	B	B	B	A	C	C	D	C	B	B	C
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
D	D	B	B	A	C	A	D	B	C	B	D	D	A	C

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

---

---

---