Hệ thức Vi-et và ứng dụng – Toán lớp 9

Cách giải Hệ thức Vi-et và ứng dụng lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh
ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ thức Vi-et và ứng dụng.

Hệ thức Vi-et và ứng dụng

A. Phương pháp giải

Xem thêm: Phương pháp giải 5 dạng bài Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho phương trình x² – 3x + 1 = 0

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình, không giải phương trình tìm giá trị của các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải:

Có Δ = (-3)² – 4.1 = 9 – 4 = 5 > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ ≠ 0

Xem thêm:

Bài 2: Cho phương trình: x² + (2m -1)x – m = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức A= x₁² + x₂² – x₁.x₂ có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Bài 3: Cho phương trình x² + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a) x₁ – x₂ = 14

b) x₁ = 2x₂

c) x₁² + x₂² = 1

d) 1/x₁ + 1/x₂ = 2

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Cho phương trình bậc hai x² – 2(m+1)x + m – 4 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b)Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

c)Không giải phương trình hãy tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ⇔ Δ > 0 với mọi m

Có Δ’ = (m +1)² – (m-4) = m² + m + 5 = (m + 1/2)² + 19/4 > 0 với mọi m

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac

Vậy với m

Bài 5: Phương trình

có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Giá trị của biểu thức x₁²x₂ + x₁x₂² bằng:

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Bài 6: Gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0. Giá trị của biểu thức S² + 2P là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Bài 7: Cho phương trình x² – (m² + 1)x + 3m² – 8 = 0 (với m là tham số). Tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x₁ = 4x₂ là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Bài 8: Phương trình nào sau đây có nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x² + mx – 2 = 0?

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Bài 9: Cho phương trình x² – 2x – m² = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – 1 và y₂ = 2x₂ – 1 là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Bài 10: Cho phương trình bậc hai ẩn x , tham số m: mx² – (2m + 3)x + m – 4 = 0. Với các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phương trình – 3x² + x + 1 = 0. Với lại x₁, x₂ là nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tính:

a) A = x12+2×1+x22+2×2;

b) B = x2x1+3+x1x2+3;

c) C = 2×1−5×1+2×2−5×2;

d) D = x1−1×14+x2−1×24.

Bài 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số 2−3 và 2+3.

Bài 3. Cho phương trình x² – (2a – 1)x – 4a – 3 = 0.

a) Chứng minh với mọi tham số a, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt;

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a;

c) Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm bằng 13.

Bài 4. Cho phương trình x² + 5x – 3m = 0.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

b) Với điều kiện của m vừa tìm được, hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2×12 và 2×22.

Bài 5. Cho phương trình x² – (2m + 1)x + m² + m – 6 = 0.

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt;

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x13+x23 = 19.

Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9: