Hình Bình Hành và Các Dạng Đặc Biệt

Tứ giác EFGH được tạo bởi các trung điểm E, F, G, H của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Bài viết này sẽ chứng minh EFGH là hình bình hành và tìm điều kiện để nó trở thành hình thoi, hình chữ nhật, và hình vuông.

Trong tam giác ACD, vì HA = HD và GC = GD, nên HG là đường trung bình. Do đó, HG song song với AC và HG = 1/2 AC.

Trong tam giác ABC, vì EA = EB và FB = FC, nên EF là đường trung bình. Do đó, EF song song với AC và EF = 1/2 AC.

Từ hai điều trên, suy ra HG song song với EF và HG = EF.

Vì HG song song với EF và HG = EF, nên tứ giác EFGH là hình bình hành.

Để hình bình hành EFGH là hình thoi, cần có hai cạnh kề bằng nhau. Giả sử EH = FH. Vì EH là đường trung bình của tam giác ABD (EA = EB, HA = HD), nên EH = 1/2 BD. Mà HG = 1/2 AC, nên để EH = HG, thì BD = AC. Vậy, điều kiện để hình bình hành EFGH là hình thoi là hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải bằng nhau.

Để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật, cần có một góc vuông. Giả sử góc H bằng 90 độ. Vì HG song song với AC, nên HG vuông góc với HE. Vì HE song song với BD, nên từ hai điều trên suy ra AC vuông góc với BD. Vậy, điều kiện để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật là hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải vuông góc với nhau.

Để hình bình hành EFGH là hình vuông, cần có hai cạnh kề bằng nhau và một góc vuông. Giả sử HE = HG, suy ra AC = BD. Giả sử góc H bằng 90 độ, suy ra AC vuông góc với BD. Vậy, điều kiện để hình bình hành EFGH là hình vuông là hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải bằng nhau và vuông góc với nhau.