Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng

Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một kiến thức quan trọng trong hình học tọa độ. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính khoảng cách này, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để củng cố kiến thức.

Phương Pháp Tính Khoảng Cách

Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 và điểm M(x₀, y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d), ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:

d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Công thức này cho phép tính toán khoảng cách một cách nhanh chóng và chính xác. Lưu ý, nếu đường thẳng (d) chưa ở dạng tổng quát, ta cần biến đổi về dạng ax + by + c = 0 trước khi áp dụng công thức.

Hình ảnh minh họa công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Ngoài ra, khoảng cách giữa hai điểm A(x_A, y_A) và B(x_B, y_B) được tính bằng công thức:

AB = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²]

Hình ảnh minh họa công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1, -1) đến đường thẳng (a): 3x – 4y – 21 = 0.

Áp dụng công thức, ta có:

d(M, a) = |3(1) – 4(-1) – 21| / √(3² + (-4)²) = |-14| / 5 = 14/5

Hình ảnh minh họa ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến đường thẳng (d): 4x + 3y – 24 = 0.

d(O, d) = |4(0) + 3(0) – 24| / √(4² + 3²) = |-24| / 5 = 24/5 = 4.8

Hình ảnh minh họa ví dụ 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm M(2, 0) đến đường thẳng (d): (x – 1)/1 = (y – 2)/(-3/4).

Đưa đường thẳng (d) về dạng tổng quát: 4x – 3y + 2 = 0.

d(M, d) = |4(2) – 3(0) + 2| / √(4² + (-3)²) = |10| / 5 = 2

Hình minh họa ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng (d): 2x – y + 3 = 0.

Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1, 1), B(4, -3), C(2, 5). Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A.

Bài 3: Tìm điểm trên đường thẳng (d): x + 2y – 3 = 0 sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.