Phương pháp giải phương trình vi phân không thuần nhất (keyword)

Bài viết này tập trung vào việc giải phương trình vi phân không thuần nhất cấp 2, đặc biệt là phương trình có dạng:

với điều kiện ban đầu:

Trong đó a và b là các hằng số thực. Việc giải phương trình vi phân không thuần nhất này bắt đầu bằng việc xét phương trình thuần nhất tương ứng:

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

với u₁ và u₂ là hai nghiệm độc lập tuyến tính, thường được xác định thông qua phương trình đặc trưng. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không thuần nhất sẽ là tổng của nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất.

Có nhiều phương pháp để tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất. Một trong số đó là phương pháp hệ số bất định, áp dụng khi vế phải f(t) có dạng đặc biệt.

Một phương pháp khác là phương pháp biến thiên hằng số, hiệu quả hơn khi vế phải f(t) phức tạp. Phương pháp này sử dụng khái niệm Wronskian:

Phương pháp biến thiên hằng số cho phép tìm nghiệm riêng bằng cách biến đổi các hằng số trong nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất thành các hàm số theo t.

Ngoài ra, nguyên lý Duhamel và phép biến đổi Laplace cũng là những công cụ hữu ích để giải phương trình vi phân không thuần nhất. Nguyên lý Duhamel liên quan đến việc giải một loạt các bài toán giá trị ban đầu đơn giản hơn, trong khi phép biến đổi Laplace chuyển bài toán từ miền thời gian sang miền tần số, giúp đơn giản hóa việc giải.