Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính tích phân cơ bản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập
Phương pháp tính tích phân cơ bản.

Phương pháp tính tích phân cơ bản (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Meraki Center)

1. Phương pháp giải

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x)

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân . Tính tích phân

A . I= 40    B. I= 10    C. I= 20    D. I= 5

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận: với x = 0 => t = 0

Với x = 6 => t = 3

Ta có:

Suy ra:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
và
. Tính giá trị của biểu thức

A. P= 4    B. P= 16    C. P= 8    D. P= 10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
. Tính
.

A. I= 9    B. I= 1   C. I = − 1    D. I = −9

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Kết hợp với giả thiết suy ra

Ví dụ 4. Cho
. Khi đó
bằng

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
.

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

A.I=1    B.I= 2    C.I= 3    D. I= −1

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho
:

A.1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tích phân
bằng

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 5. Tích phân
bằng

Lời giải:

Đáp án: A

Do x ∈ (1; 8) => x > 0 nên
. Vì vậy

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Ví dụ 2. Tích phân
bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 3. Cho tích phân
(a,b,c ∈ Q). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a < 0    B. c < 0    C. b > 0    D. a + b + c > 0

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính tích phân

A . 2ln3 − ln2     B. ln3 − 2ln2     C. 2ln3 − 3ln2     D. 3ln2 +2ln3

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1: (Hệ số bất định)

Ta có:

Thay x= −2 vào hai tử số: 3= A và thay x= −3 vào hai tử số: −B= −1 suy ra B= 1

Do đó

Vậy:

Cách 2

Ta có:

Do đó

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
có giá trị là

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Ví dụ 3. Giả sử

khi đó a+ b là

Lời giải:

Đáp án: B

Suy ra

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Vậy:

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là:

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

---