Công Thức Tọa Độ Đỉnh Và Trục Đối Xứng Của Parabol

Bài viết này trình bày chi tiết công thức tính tọa độ đỉnh và trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức quan trọng này.

Công thức xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng

Xét hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c (với a ≠ 0). Đồ thị của hàm số này là một parabol.

Tọa độ đỉnh I của parabol được xác định bởi công thức:

• Hoành độ: x = -b/(2a)
• Tung độ: y = -Δ/(4a) (với Δ = b² – 4ac là delta của phương trình bậc hai)

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình: x = -b/(2a).

Ngoài ra, nếu b = 2b’ thì tọa độ đỉnh I’ được tính bằng:

• Hoành độ: x = -b’/a
• Tung độ: y = -Δ’/a (với Δ’ = b’² – ac)

Parabol cắt trục tung tại điểm (0, c). Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂, parabol sẽ cắt trục hoành tại hai điểm (x₁, 0) và (x₂, 0).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = 5x² – 7x + 1.

Với a = 5, b = -7, và c = 1, ta có:

• Hoành độ đỉnh: x = -(-7)/(2*5) = 7/10
• Δ = (-7)² – 451 = 29
• Tung độ đỉnh: y = -29/(4*5) = -29/20

Vậy tọa độ đỉnh là I(7/10, -29/20).

Ví dụ 2: Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x² + 3x + 2.

Với a = 1, b = 3, ta có:

• Phương trình trục đối xứng: x = -3/(2*1) = -3/2

Vậy trục đối xứng là đường thẳng x = -3/2.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = -x² + 4x – 3 với trục tung và trục hoành.

• Giao điểm với trục tung: Thay x = 0 vào phương trình parabol, ta được y = -3. Vậy giao điểm là (0, -3).

• Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình -x² + 4x – 3 = 0, ta tìm được hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy giao điểm là (1, 0) và (3, 0).

Bài tập tự luyện

Bài 1: Xác định tọa độ đỉnh của các parabol sau:

a) y = 3x² – 4x + 5
b) y = – 2x² + 3x + 10

Bài 2: Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x² + 3x + 5.

Bài 3: Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và vẽ đồ thị hàm số y = 2x² + 4x – 1.

Bài 4: Cho parabol y = x² – 3x + 4. Tìm tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành.

Bài 5: Đồ thị hàm số y = 2x² – 4x + 5 có cắt trục hoành không?