Các phương pháp tính tích phân và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Các phương pháp tính tích phân và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Các phương pháp tính tích phân và cách giải

A. LÝ THUYẾT 

1. Phương pháp đổi biến số.

Định lý 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a;φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt x = φ(t), ta xác định đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a;φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b, ∀t ∈ [α;β];

2. Biến đổi f(x)dx = f(φ(t))φ'(t)dt = g(t)dt

3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4. Tính

5. Kết luận

Định lý 2

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số có u = u(x) đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và a ≤ u(x) ≤ b với mọi x ∈ [a;b] sao cho f(x) = g(u(x))u'(x) , g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì

Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt u = u(x),

2. Biến đổi f(x)dx = g(u)du.

3. Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u) .

4. Tính .

5. Kết luận

2. Phương pháp tích phân từng phần.

Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau: 

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì hay

hay .

Một số cách đặt tích phân từng phần thường gặp với :

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

1. Phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý:

– Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.

– Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.

– Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

Lời giải

Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.

a) Đặt  

Đổi cận

Khi đó

b) Đặt

Đổi cậnkhi đó

Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý tính chất:(tích phân không phụ thuộc vào biến).

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn

Tính tích phân

A. I = 6                   B. I = 36

C. I = 2                   D. I = 4

Lời giải

Ta có:

Đổi biến: Đặt t = 3x => dt = 3dx

Đổi cận: x = 0 thì t = 0; x = 2 thì t = 3.2 = 6 

(tích phân không phụ thuộc vào biến)

Chọn D

Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ

Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

a)  nếu f(x) là hàm số chẵn.

b)  nếu f(x) là hàm số lẻ.

Phương pháp giải

a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì

Ta có: 

Do đó  

b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì f(-x) = f(x)

Ta có: 

Do đó

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(x) + 2f(1 – x) = 3x, ∀x ∈ R

Tính tích phân

Lời giải

Cách 1: Ta có f(x) + 2f(1 – x) = 3x

Đặt t = 1 – x => dt = – dx =>

Suy ra

Chọn C.

Cách 2: Ta có f(x) + 2f(1 – x) = 3x 

=> f(1 – x) +2f(x) = 3(1 – x) = 3 – 3x

Khi đó

Lấy 2.(2) – (1) ta được 3f(x) = 2(3 – 3x) – 3x <=> f(x) = 2 – 3x

Vậy

Chọn C.

Dạng 4. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để phân tích.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 4. Tính tích phân

Lời giải

Đặt 1 + x = u => dx = du

Đổi cận x = 0; u = 1; x = 3 => u = 4;

Khi đó

Chọn D.

2. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tích phân từng phần 

Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng đã cho ở phần lý thuyết)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tích phân  K.hẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

Ta có

Theo công thức tích phân từng phần:  

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tích phân.Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. a = 3b.

B. a = – 3b.

C. a + b = 40.

D. a – b = 20.

Lời giải

Đặt

Theo công thức tích phân từng phần 

 Chọn B.

Ví dụ 3. Cho vớiLúc này S = a + b + c có giá trị bằng

Lời giải

Ta có

Đặt

Đặt

Theo công thức tích phân từng phần ta có

Từ (1); (2) ta có

Chọn D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Cho hàm số f liên tục trên R và hai số thực a < b. Nếu thì tích phân  có giá trị bằng

Câu 2. Bài toán tính tích phân  được một học sinh giải theo ba bước sau:

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Bài giải đúng.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

Câu 3. Bài toán tính tích phân  được một học sinh giải theo ba bước sau:

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Sai từ Bước I.

B. Sai ở Bước III. 

C. Sai từ Bước II.

D. Bài giải đúng.

Câu 4. Cho tích phân: .Đặt.Khi đó I bằng

Câu 5. Tích phân  bằng

Câu 6. Tích phân  bằng

Câu 7. Tìm m để ?

A. 0.                     B. 9.

C. 7.                     D. 2.

Câu 8. Tích phân  có giá trị là

Câu 9. Giá trị của tích phân  là

A. ln2.                   B. ln3.

C. 2ln2.                 D. 2ln3.

Câu 10. Giá trị của tích phân  là

Câu 11. Giá trị của tích phân  là

Câu 12. Giá trị của tích phân  là

Câu 13. Giá trị của tích phân  là

A. 2ln3.                   B. ln3.

C. ln2.                     D. 2ln2.

Câu 14. Giá trị của tích phânlà

Câu 15. Biết. Giá trị của  là

A. 2.                        B. ln2.                     

C. π.                       D. 3.

Câu 16. Kết quả phép tính tích phâncó dạng I = aln3 + bln5 (a,b ∈ Z). Khi đó a² + ab + 3b² có giá trị là

A. 1.                        B. 5.

C. 0.                        D. 4.

Câu 17. Biết rằng và . Khi đó biểu thức b² + a³ + 3a² + 2a có giá trị bằng

A. 5.                        B. 4.

C. 7.                        D. 3.

Câu 18. Giả sửTính a + b.

Câu 19. Biết rằng . Trong đó a, b, c là các số nguyên. Khi đó S = a + b – c bằng bao nhiêu.

A. S = 4.                  B. S = 3.

C. S = 5.                  D. S = 2.

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4], biết và . Tính

A. -10.                     B. -6.

C. 6.                        D. 10.

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	D	C	B	A	C	A	B	D	C
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	B	C	A	A	B	C	D	B	B

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

---

---

---